Zeju Qiu和Tim Z. Xiao是德国马普所博士生，Simon Buchholz和Maximilian Dax担任德国马普所博士后研究员，Bernhard Sch"olkopf是德国马普所所长，Weiyang Liu是香港中文大学计算机系助理教授。

摘 要：针对传统数字语言水印算法鲁棒性较差、复杂度较高等问题，提出一种基于SVD分解和离散小波域特征值量化的安全水印算法。该算法以离散小波变换的特征值量化为基础，利用离散小波变换将每帧数字语音转化到小波域，再利用SVD奇异值分解计算近似系数特征值，而不是细节系数部分；最后，使用量化后的特征值嵌入水印比特位信息。实验结果表明，当量化步长和所选帧长较高时，该算法能有效抵御过滤攻击、加性高斯白噪声攻击、重采样攻击和剪切攻击，其中高斯白噪声攻击和剪切攻击的误码率几乎为0。相比其他优秀算法，该算法具有更好的鲁棒性。

简介

本文将会以图表的形式为大家讲解怎么在NumPy中进行多维数据的线性代数运算。

A=LU 高斯消元法

A=CR 列基与行基乘积

A=QR 正交基与施密特正交化

S=QxQt（t为转置，S为对称阵）标准正交基与对角阵

A=XdX-1（-1为逆）特征向量与特征值

A=UxVt（SVD）奇异值分解

SVD(Singular Value Decomposition, 奇异值分解)是线性代数中既优雅又强大的工具, 它揭示了矩阵最本质的变换. 使用SVD对矩阵进行分解, 能得到代表矩阵最本质变化的矩阵元素. 这就好比一个合数能表示为若干质数之积, 分解合数能得到表示该合数的质因数; 复杂周期信号可以表示为若干简单的正弦波和余弦波之和, 使用傅里叶变换能得到表示该信号的简单波; 复杂矩阵所代表的线性变换可由若干个简单矩阵所代表的线性变换组合起来, 使用SVD能找到这些简单矩阵。

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原理分析

PCA（主成分分析）和SVD（奇异值分解）是数据降维和特征提取的核心工具

本节通过一系列简单的小例子，逐一展示矩阵的各种计算方法。每个例子都会包含代码、输出结果以及简要说明，希望帮助我们更好地理解和应用矩阵计算功能。

矩阵有很多种分解形式，LU分解对应高斯消元，QR分解对应格兰特史密斯正交化，而矩阵的SVD分解可以看做矩阵分解到行列空间的结果，如果矩阵为对称矩阵特征向量正交，则SVD的结果与特征向量与特征值值相关。

什么是SVD？

奇异值分解（SVD，Singular Value Decomposition）是一种强大的矩阵分解技术，能从复杂数据中提取关键特征。简单来说，SVD就像一台智能过滤器，能帮我们从海量数据中筛选出最重要的信息，同时过滤掉噪声和冗余内容。

想象一下，你有一本厚厚的书，SVD能帮你提炼出书中的核心观点，让你用几页纸就能了解整本书的精华——这就是SVD的魅力所在。

概述

PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。