（一）线性回归的概念
在预测领域，我们经常听到回归的概念，接下来的文章中我们会一点一点的揭开回归问题的面纱。今天，咱俩先来介绍一下线性回归。线性回归是机器学习中有监督机器学习下的一种算法。 回归问题主要关注的是因变量(需要预测的值，可以是一个也可以是多个)和一个或多个数值型的自变量(预测变量)之间的关系。
需要预测的值:即目标变量，target，y。
影响目标变量的因素：X_1...X_n。
因变量和自变量之间的关系:即、模型，是我们要求解的。
简单线性回归属于算法，它所对应的公式为:
其中，y是目标变量，也就是我们需要预测的值，x是影响y的因素，w,b是参数，上学期间，我们就知道，其中w表示斜率，b表示截距。换一句话说，就是在该模型中，影响y值的未知数只有一个，也就是x，所以，这也叫简单的线性回归。
（二）最优解
真实值：用y表示
预测值：通过^y = wx + b模型，将x代入公式和猜出来的w，b计算得到的结果，用^y表示
误差：真实值和预测值之间的差距，用ξ表示
最优解：尽可能的找出一个模型，即求出最优的w，b，使得整体的误差最小，整体的误差一般叫做loss
loss：整体的误差，一般通过损失函数计算得到。
如下图：样本特征只有一个，即影响因变量y的因素只有一个x，这就是简单的线性回归
（三）多元线性回归
然而，在实际生活中，影响结果的因素往往是多样的，就拿著名的加州房价预测数据集来说，影响房价的因素就有MedInc （每个街区的收入中位数）、HouseAge （每个街区的房屋年龄中位数）。AveRooms （每户人家的平均房间数量）。AveBedrms （每户人家的平均卧室数量）。Population （街区人口）。AveOccup （平均每户人家的居住成员数量）。Latitude （街区纬度）。Longitude （街区经度）。MedHouseVal （房屋中位价值（以千元为单位））。这时候简单的线性回归用来做预测就会有很大的局限性，所以这种情况我们需要考虑用多元线性回归来解决问题。
多元线性回归的公式如下：
其中b表示方程的截距，也可以表示,即：
用我们学习的矩阵表示为：
其中X表示所有的变量，W表示所有的系数（包含w_0）,之所以W需要用转置矩阵，是因为在矩阵的运算中，有如下规律：
（四）求解参数
在一元线性回归和多元线性回归方程中，对于已有的数据集，我们都能确定X和y，所以，我们的目标就是求出W,即求出所有x的系数（包括常数项：b）。
这里我们需要用到最小二乘法，它可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程式数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。公式如下：
其中的 θ 即使方程的解！
这个推导过程如下：
这是最小二乘法的表达式，由当年高斯推导出来的，这里不做详细说明，因为我也不知道当年高斯是怎么推导出来的，将该表达式化简如下：
用矩阵的方式表达为：
接下来是网络上的推导过程：
（五）实际代码实现和应用
学习的意义在于知行合一，我们不能停留在知道的层面，最主要的还是要应用，这个模块主要是代码实现：
一元线性回归：
模拟一元回归数据如下：
重新构建一元回归如下：
使用正规方程计算结果如下：
得到的结果和实际的结果偏差较小。
多元线性回归：这里就用加州房价预测为例吧，如下图，影响房价的因素有八个，具体因变量是什么，前文已做了详细说明。
查看数据样本，如下图所示，有26640条样本数据。
我们需要按照8:2切分成训练集和测试集，训练集用来拟合数据，求出每个自变量的权重，也就是每个自变量的系数，得出模型以后，用20%的测试集验证数据是否有问题。
测试集验证结果如下：
扩展1：在计算每个自变量权重的时候，需要用到正规方程，代码表示为 θ= np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)，然而，因为这是一个程序化的步骤，所以，实际上python已经将该方法进行封装了，只需要导入线性回归的包就可以直接使用，如下图所示：
直接打印斜率和截距：
直接使用predict函数进行预测：
扩展2：在实际工作中，求回归方程的θ，不仅仅是用以上导入线性回归的包和正规方程求解，还有其他方式，比如梯度下降，下一篇文章重点讲。