[高等数学] 向量范数全解析
目录
1 向量范数
1.1向量范数的定义
1.2常见的向量范数分类
1.3 范数的性质与比较
2 程序举例
正文
1向量范数
向量范数是衡量向量“大小”的一种数学工具，满足非负性、齐次性、三角不等式三个基本性质。它在机器学习、数值分析、优化等领域有广泛应用。以下是向量范数的定义、常见分类及其特性：
1.1 向量范数的定义
对于向量
，其范数 ||X|| 是一个实数，满足以下条件：
1. 非负性 ：||X||≥0 当且仅当X=0向量时取等号。
2. 齐次性 ：||kX||=|k|o||X|| (k为标量)。
3. 三角不等式 ：||X+Y||≤||X||+||Y||。
1.2 常见的向量范数分类
1）L_p 范数（闵可夫斯基范数）
定义：
o L_1 范数（曼哈顿范数）：
应用：稀疏优化（如 Lasso 回归）、特征选择。
o L_2 范数（欧几里得范数）：
应用：最小二乘法、几何距离计算。
o L_∞ 范数（切比雪夫范数）：
证明：
其中x_k是向量X中绝对值最大的元素。
应用：控制理论中的最大误差分析。
o L_0 "伪范数"：
||x||0 = 非零元素的个数
注意：不满足齐次性，严格来说不是范数，但用于稀疏性度量。
2）加权范数
定义：
其中 W 是正定矩阵。若 W 为对角矩阵（如 W_{ii} = w_i ），则退化为加权L_2 范数：
应用：考虑不同维度的重要性（如机器学习中的特征加权）。
3）其他范数
o L_{p,q} 范数（用于矩阵展开为向量时的混合范数）。
o 核范数（向量的奇异值之和，常用于低秩问题）。
1.3 范数的性质与比较
1) 范数等价性 ：
在有限维空间中，所有范数等价，即存在常数 c1, c2 > 0 使得：
c1||X||A ≤ ||X||B ≤ c2||X||A
例如 ：
2) 几何意义 ：
- L_1 ：菱形（稀疏解）。
- L_2 ：圆形（平滑解）。
- L_∞ ：正方形（均匀约束）。
3) 凸性 ：
所有 L_p 范数（p≥1）是凸函数，可用于凸优化问题。
2 程序举例
% n = norm(v,p)
% 创建一个向量
v = [1, -2, 3, -4]
% 计算1 - 范数
norm_1 = norm(v, 1);
disp(['1 - 范数: ', num2str(norm_1)]);
% 计算2 - 范数
norm_2 = norm(v, 2);
disp(['2 - 范数: ', num2str(norm_2)]);
% 计算无穷范数
norm_inf = norm(v, inf);
disp(['无穷范数: ', num2str(norm_inf)]);
% 计算负无穷范数 norm_neg_inf = norm(v, -inf);
disp(['负无穷范数: ', num2str(norm_neg_inf)]);
%负无穷范数是 向量元素绝对值的最小值。
%程序运行效果
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